Из расчета толстостенного цилиндра на полярно симметричное нагружение известно, что расчетное напряжение по толщине трубы распределяется весьма неравномерно и при увеличении толщины трубы стремится к удвоенному давлению. Поэтому в середине ХIХ века Гадолиным была разработана теория прессовой посадки толстостенных цилиндров, что использовалось для изготовления двухслойных стволов пушек. В настоящее время вместо прессовой посадки применяется метод автофретажа.[1]

    Если напряжение у внутренней поверхности трубы превысит предел текучести , то появляются пластические деформации (рис. 1)

            (1)

    Но из условия равновесия элемента толстостенного цилиндра имеем зависимость между напряжениями (рис. 1)

            (2)

    Рис. 1. Напряженное состояние в пластической упругой зоне

    Из равенства этих двух зависимостей получаем дифференциальное уравнение

    откуда находим радиальное напряжение

    Из условия на нагруженной поверхности при находим постоянную . Из условия на внутренней поверхности при с учетом постоянной С получим зависимость

            (3)

    При q = 0 получим условие предельного пластического сопротивления трубы

            (4)

    При отсутствии наружного давления внутреннее давление (4) следует считать критическим. Под действием такого давления труба разрушится. При давлении остается некоторый упругий наружный слой, получаем по аналогии с прессовой посадкой. Такое упрочнение называется автофретажом. Теперь трубу можно считать двухслойной с радиусом сопряжения пластичной и упругой зоны r₀ и давлением p₀ (рис. 2а).

    Рис. 2. Расчетные напряжения в МПа: а) от загружения внутренним давлением; б) от снятия внутреннего давления; в) остаточные

    Для внутренней пластичной зоны согласно (3) получим

            (5)

    Для внешнего слоя прочность примет вид

            (6)

    Решая совместно (5) и (6) получим расчетную зависимость

            (7)

    Так для трубы с параметрами , при q = 0 получим условие прочности (7) . Отсюда видно, что для стали 40ХМ ( ) можно создать давление в цилиндре p = 427,2 МПа. Если взять , то получим МПа. Отсюда видно, что пластичный слой нужно увеличивать. Если взять цилиндр то получим МПа. При разгрузке предварительно упрочненного цилиндра остаются остаточные напряжения.

    Для примера вычисления остаточных напряжений примем цилиндр , для которого получим расчетное внутреннее давление, вызывающее пластические деформации внутреннего слоя,

    При q = 0 из (6) найдем расчетное давление в контакте пластического и упругого слоев (рис. 2,а)

    По этому напряжению теперь можно найти расчетные напряжения в наружном упругом слое (рис. 2,а)

    у внутренних волокон этого слоя

    у наружных волокон

    При разгрузке нужно приложить внутреннее давление с обратным знаком и решить задачу в упругой стадии (рис. 2,б)

    у внутренних волокон

    у наружных волокон

    на стыке зон, где , расчетное напряжение

    Эпюра остаточных знакопеременных напряжений показана на рис. 2,в.

    С учетом остаточных напряжений цилиндр рассчитывается на циклическую прочность.

    Список литературы:

    1. Сопротивление материалов/ Под ред. АН УССР Писаренко Г.С. – 5-е изд., пере раб., и доп. – К.: Вища шк. Головное изд-во, 1986. – 775с.

    2. Н.И. Безухов Основы теории упругости, пластичности и ползучести. – М.: Высшая школа, 1968. – 512с.